更低的 Ricci 曲率与流形结构的不存在性

已知具有 Ricci 曲率一致下界的流形 $M_j$ 的极限 $(M^n_j,g_j)\to (X^k,d)$ 必为 $k$-可求长的，其中唯一确定的 $\dim X:= k\leq n = \dim M_j$。亦已知若 $k=n$，则 $X^n$ 在一个开稠子集上是拓扑流形，而该性质在 $k<n$ 时是否成立一直是一个公开问题。现考虑任意光滑完备 $4$-流形 $(X^4,h)$，满足 $\text{Ric}>\lambda$ 且 $\lambda\in \mathbb{R}$。则对每个 $\epsilon>0$，我们构造一个完备的 $4$-可求长度量空间 $(X^4_\epsilon,d_\epsilon)$，满足 $d_{GH}(X^4_\epsilon,X^4)<\epsilon$，且如下性质成立。首先，$X^4_\epsilon$ 是一个极限空间 $(M^6_j,g_j)\to X^4_\epsilon$，其中 $M^6_j$ 是满足同一 Ricci 曲率下界 $\text{Ric}_j>\lambda$ 的光滑流形。此外，$X^4_\epsilon$ 没有任何开子集在拓扑上是流形。事实上，对任意开集 $U\subseteq X^4_\epsilon$，其第二同调 $H_2(U)$ 都是无限生成的。在拓扑上，$X^4_\epsilon$ 是 $X^4$ 与无穷多个稠密分布的 $\mathbb{C} P^2$ 副本的连通和。由此我们看到，每个 $4$-流形 $X^4$ 都可被任意逼近地由处处不是流形的 $4$ 维极限空间 $X^4_\epsilon$ 所逼近。我们将看到，在某种（目前尚不精确的）意义下，人们应当预期在具有更高维 Ricci 曲率下界的空间上，流形结构一般而言是不存在的。