具有有界 Ricci 曲率的流形上的 $L^2$ 曲率界

考虑一个具有有界 Ricci 曲率 $|\Ric|\leq n-1$ 和非塌缩下体积界 $\Vol(B_1(p))>\rv>0$ 的黎曼流形。本文的第一个主要结果是证明我们有 $L^2$ 曲率界 $\fint_{B_1(p)}|\Rm|^2 < C(n,\rv)$，这证明了 $L^2$ 猜想。为了证明这一点，我们需要首先展示极限的以下结构结果。即，如果 $(M^n_j,d_j,p_j) \longrightarrow (X,d,p)$ 是具有有界 Ricci 曲率的非塌缩流形的 $GH$-极限，则奇异集 $\cS(X)$ 是 $n-4$ 可求长的，且具有一致 Hausdorff 测度估计 $H^{n-4}\big(\cS(X)\cap B_1\big)<C(n,\rv)$，这特别证明了 Cheeger-Colding 的 $n-4$-有限性猜想。作为证明的推论，我们将看到对于 $n-4$ 几乎处处的 $x\in \cS(X)$，X 在 x 处的切锥是唯一的，并且等距于 $\dR^{n-4}\times C(S^3/\Gamma_x)$，其中某个 $\Gamma_x\subseteq O(4)$ 在原点外自由作用。