具有 Ricci 曲率下界的非塌缩空间中奇异集的可整流性

本文关注满足一致 Ricci 曲率下界 $Rc_{M^n_i}\geq -(n-1)$ 以及非塌缩假设 $Vol(B_1(p_i))>v>0$ 的黎曼流形之 Gromov-Hausdorff 极限空间 $(M^n_i,g_i,p_i)\stackrel{d_{GH}}{\longrightarrow} (X^n,d,p)$ 的结构。在此情形下，奇异集有一个滤列 $S_0\subset S_1\cdots S_{n-1}:= S$，其中 S^k:= \{x\in X:\text{ x 处无切锥是 }(k+1)\text{-对称的}\}；等价地，无切锥等距分裂出欧几里得因子 $\mathbb{R}^{k+1}$。此外，由\cite{ChCoI}知 $\dim S^k\leq k$。然而关于奇异集 $S$ 的结构几乎一无所知。我们对此类极限空间 $X^n$ 的首个结果表明 $S^k$ 是 $k$-可整流的。事实上，我们将证明对 $k$-几乎处处的 $x\in S^k$，在 $x$ 处的{\it 每一个}切锥 $X_x$ 都是 $k$-对称的，即 $X_x= \mathbb{R}^k\times C(Y)$，其中 $C(Y)$ 可能依赖于特定的 $X_x$。我们由此表明存在 $\epsilon=\epsilon(n,v)$ 以及一个 $(n-2)$-可整流集 $S^{n-2}_\epsilon$，其有限 $(n-2)$ 维 Hausdorff 测度 $H^{n-2}(S_\epsilon^{n-2})<C(n,v)$，使得 $X^n\setminus S^{n-2}_\epsilon$ 与光滑黎曼流形是双 Hölder 等价的。这改进了\cite{ChCoI}的正则性结果。此外，我们将看到切锥在 Hausdorff $(n-2)$ 维测度零的子集上是唯一的。我们的分析基于若干新想法，包括一个锐利的锥分裂定理与一个几何变换定理，它们使我们能控制这些颈区域上调和函数的退化。