具有无穷多孔洞的 Ricci 极限空间的例子

设 $n\geq 3$，$\lambda \in \mathbb{R}$，且 $(X,h)$ 为满足 ${\rm Ric}_h > \lambda$ 的 $n$ 维光滑完备黎曼流形。在本文中，对于每个给定的 $\epsilon >0$，我们构造了一列 $(n+2)$ 维流形 $(M_{i} ,g_i ) \stackrel{GH}{\longrightarrow} (X_\epsilon ,d_\epsilon )$，满足 ${\rm Ric}_{g_i} > \lambda$，使得 $d_{GH} (X,X_\epsilon ) \leq \epsilon$，且 $X_\epsilon$ 同胚于从 $X$ 中移除无穷多个球后得到的空间。因此 $X_\epsilon$ 具有包含无穷多个连通分量的稠密边界。此外，$X_\epsilon$ 没有在拓扑上是流形的开子集。这将 Hupp-Naber-Wang 的结果（arxiv: 2308.03909）从 $4$ 维情形推广到了 $n\geq 3$ 的一般情形。我们的构造不同于 Hupp-Naber-Wang 的构造。在他们的方法中，Hupp-Naber-Wang 考虑对 $X$ 的局部复曲面结构进行无穷多次吹胀，因此依赖于 $4$ 维条件。然而，我们的方法涉及从 $X$ 中移除无穷多个球，使我们能够在大于或等于 $3$ 维的一般情形中进行构造。作为推论，我们对 Naber 在 $3$ 维情形下提出的一个开放问题给出了答案。