满足几何方程的三维 Ricci 退化黎曼流形

本文研究三维 Ricci 退化黎曼流形 $(M^3,g)$，其容许方程 \begin{align} \label{a1a} \nabla df=\psi Rc+\phi g, \end{align} 的光滑非零解 $f$，其中 $\psi,\phi$ 为 $f$ 的给定光滑函数，$Rc$ 为 $g$ 的 Ricci 张量。此类空间包含若干有趣的类，即梯度 Ricci 孤子、$m$-拟爱因斯坦度量、（真空）静态空间、$V$-静态空间以及临界点度量。$m$-拟爱因斯坦度量和真空静态空间此前已分别在 \cite{JJ,JEK} 中研究。本文对它们进行细化并给出处理 (\ref{a1a}) 解的一般方法；当 $\nabla f$ 不是 Ricci 特征向量时，我们确定满足 (\ref{a1a}) 的度量 $g$ 的形式。随后我们聚焦于其余三类，即梯度 Ricci 孤子、$V$-静态空间和临界点度量。进一步，我们通过显式描述度量 $g$ 与势函数 $f$，给出这三类局部三维 Ricci 退化空间的分类。