具有调和曲率的四维静态与相关临界空间

本文研究任意4维黎曼流形$(M,g)$具有调和曲率且承认以下方程的平滑非零解$f$：\begin{eqnarray} \label{0002bx} \nabla df = f(Rc -\frac{R}{n-1} g) + x Rc+ y(R) g. \end{eqnarray} 其中$Rc$是$g$的Ricci张量，$x$为常数，$y(R)$为标量曲率$R$的函数。我们表明，$M$的某个开稠密子集内任意点的邻域局部等距于以下五种类型之一：{\rm (i)} $\mathbb{S}^2(\frac{R}{6}) \times \mathbb{S}^2(\frac{R}{3})$ 具$R>0$，{\rm (ii)} $\mathbb{H}^2(\frac{R}{6}) \times \mathbb{H}^2(\frac{R}{3})$ 具$R<0$，其中$\mathbb{S}^2(k)$与$\mathbb{H}^2(k)$分别为具有常截面曲率$k>0$与$k<0$的二维黎曼流形，{\rm (iii)} 下文例3中的静态空间，{\rm (iv)} Kobayashi的\cite{Ko}中描述的共形平坦静态空间，{\rm (v)} 一个Ricci平坦度量。随后我们得到若干推论，包括具有调和曲率的如下四维空间之分类：静态空间、Miao-Tam临界度量与$V$-静态空间。证明基于先前关于梯度Ricci孤子研究\cite{Ki}的论证。有效利用了源自曲率调和性的Ricci张量的某些Codazzi张量性质。