具备共形向量场的黎曼流形的若干特征

本文旨在考察黎曼流形M 上是否存在具有共形因子 $\rho$ 的共形向量 $\xi$。我们首先证明，若一个紧致黎曼流形 $(M^n, g)$ 具有常数标量曲率，且其边界 $\partial M$ 为全等距面，且在 $\nabla \rho$ 的方向上迈克尔黎斯曲率为零，则其等距于标准半球。在四维情形下，若满足 $\displaystyle\int_M|\mathring{Ric}|^2\langle \xi,\nabla \rho\rangle \,dM\leq0$，则表明要么 $M$ 等距于标准球面，要么 $M$ 等距于标准半球。最后，我们对宇宙无-hair 猜想给出部分答案。