坍缩黎曼流形的几何结构 I

设 (M^n_i,g_i,p_i) 为一列具有统一截面曲率界的平滑 pointed 完备 n 维黎曼流形，并设 (X,d,p) 为一个度量空间，使得 (M^n_i,g_i,p_i) 在 Gromov-Hausdorff 意义下收敛于 (X,d,p)。令 O \subseteq X 为满足以下条件的点 x \in X 的集合：存在 x 的一个邻域等距同构于黎曼轨形中的一个开集；令 B = O^c 为补集。于是我们有尖锐估计 dim_Haus(B) \leq min{n-5, dim_Haus(X)-3}，并且对于任意 x \in X，当且仅当 x 的邻域具有有界 Alexandroff 曲率时，x \in O。特别地，若 n \leq 4，则 B 为空集且 (X,d) 为黎曼轨形。我们的主要应用是证明 Einstein 四维流形的坍缩极限在除去有限个点之外具有平滑黎曼轨形结构，且在这些点附近曲率具有 -dist^{-2} 的下界。