形状空间上的 Sobolev 度量，II：加权 Sobolev 度量与几乎局部度量

作为文献 [3] 的延续，我们讨论了在浸入空间$\Imm(M,N)$和形状空间$B_i(M,N)=\Imm(M,N)/\on{Diff}(M)$上形式为$$G^P_f(h,k)=\int_M \sum_{i=0}^p\Phi_i(\Vol(f)) \g((P_i)_fh,k) \vol(f^*\g)$$的度量。其中$(N,\g)$是完备黎曼流形，$M$是紧流形，$f:M\to N$是浸入，$h$和$k$是浸入空间中$f$处的切向量，$f^*\g$是$M$上的诱导黎曼度量，$\vol(f^*\g)$是$M$上的诱导体积密度，$\Vol(f)=\int_M\vol(f^*\g)$，$\Phi_i$是正实值函数，而$(P_i)_f$是诸如拉普拉斯算子$\Delta^{f^*\g}$的某次幂等算子。我们推导了这些度量的测地线方程，并表明它们有时是适定的，且测地线指数映射是局部微分同胚。这里的新颖之处在于权重$\Phi_i(\Vol(f))$，我们利用它构造了尺度不变度量和具有正测地距离的 0 阶度量。我们详细处理了几个具体的特例。