一类基于 Sobolev 空间建模的非参数统计流形

我们构造了 $R^d$ 上有限测度的一族非参数（无限维）流形。这些流形基于多种加权 Sobolev 空间建模，包括 Hilbert-Sobolev 空间和混合范数空间。每个流形上都支持 Fisher-Rao 度量作为弱黎曼度量。密度用具有线性增长的形变指数函数表示。在 Sobolev 背景下不同寻常的是，由于其线性增长，这“提升”为一个非线性叠加（Nemytskii）算子，该算子在特定的混合范数模型空间类上以及固定范数空间 $W^{2,1}$ 上连续作用；即它将上述每个空间连续地映射到自身。它还在其他固定范数空间之间连续映射，且 Lebesgue 指数损失随导数阶数增加而增大。部分结果本质地用到了一个 log-Sobolev 嵌入定理。每个流形都包含一个概率测度的光滑嵌入子流形。文中概述了其在非线性滤波的随机偏微分方程（以及因此与 Fokker-Planck 方程）中的应用。