曲面形状空间上的 Sobolev 度量

设 $M$ 和 $N$ 为无边连通流形，且 $\dim(M) < \dim(N)$，$M$ 紧致。那么本文中的形状空间要么是与 $M$ 微分同胚的 $N$ 的子流形构成的流形，要么是 $M$ 到 $N$ 中无参数浸入的轨形。我们研究形状空间上的 Sobolev 黎曼度量：这些度量由浸入空间上如下形式的度量诱导：$$G^P_f(h,k) = \int_{M} \g(P^f h, k)\, \vol(f^*\g)$$ 其中 $\g$ 是 $N$ 上的某个固定度量，$f^*\g$ 是 $M$ 上的诱导度量，$h,k \in \Gamma(f^*TN)$ 是嵌入或浸入空间在 $f$ 处的切向量，$P^f$ 是一个光滑依赖于 $f$ 的、阶数为 $2p$ 的正定自伴双射标量伪微分算子。我们随后具体考虑算子 $P^f=1 + A\Delta^p$，其中 $\Delta$ 是由度量 $f^*\bar g$ 诱导的 $M$ 上的 Bochner-Laplacian。对于这些度量，我们计算了浸入空间和形状空间上的测地线方程，以及由明显对称性产生的守恒动量。我们还证明了测地线方程在浸入空间和微分同胚群上是适定的。我们给出了数值解的例子。