流体力学中的半不变黎曼度量

数学物理中的许多模型由流体力学类型的非线性偏微分方程给出；不可压缩 Euler 方程、KdV 方程和 Camassa–Holm 方程是经过充分研究的例子。一种优美的适定性研究方法是从欧拉描述转到拉格朗日描述。在几何上，它对应于具有右不变黎曼度量的无穷维微分同胚群上的测地初值问题。通过建立黎曼 spray 的正则性性质，可以获得局部、有时是全局的存在唯一性结果。然而，有许多流体力学型方程，特别是浅水模型和可压缩 Euler 方程，其底层的无穷维黎曼结构不是完全右不变的，而是关于保体积微分同胚子群仍是半不变的。本文研究此类度量。对于 Sobolev $H^k$ 型的半不变度量，我们给出了测地初值问题的局部和若干全局适定性结果。我们还给出了存在势泛函（对应于流体内能）时的结果。我们的研究揭示了从完全右不变到半不变 Sobolev 度量过渡中的许多陷阱；例如，正则性要求更高。尽管如此，关键结果——如沿测地线无正则性损失或增益——仍可被沿用。