具 $H^1$ 度量的微分同胚群与平均流体力学的几何及曲率

最近，Holm、Marsden 与 Ratiu [1998] 推导了欧氏空间中理想流体平均运动的新模型，由方程 $\dot{V}(t) + \nabla_{U(t)} V(t) - \alpha^2 [\nabla U(t)]^t \cdot \triangle U(t) = -\text{grad} p(t)$ 给出，其中 $\text{div} U=0$，且 $V = (1- \alpha^2 \triangle)U$。在该模型中，动量 $V$ 由速度 $U$ 输送，其效应是对应于小于 $\alpha$ 的长度尺度的模之间的非线性相互作用可忽略。我们将此方程推广到 $n$ 维紧 Riemannian 流形的情形。所得方程是 ${\mathcal D}^s_\mu$（具有 $H^s$ 类的保体积 Hilbert 微分同胚群）上 $H^1$ 右不变度量的测地流所对应的 Euler-Poincaré 方程。我们证明测地 spray 从 $T{\mathcal D}_\mu^s(M)$ 到 $TT{\mathcal D}_\mu^s(M)$ 是连续可微的，从而标准的 Picard 迭代论证证明了在有限时间区间上的存在唯一性。本文的目标是建立追随 Arnold [1966] 的 Lagrangian 稳定性分析的基础。为此，我们利用子流形几何，并证明 ${\mathcal D}^s_\mu$ 上右不变 $H^1$ 度量的弱曲率张量是 $H^s$ 拓扑下的有界三线性映射，由此得出 Jacobi 方程的解存在。利用此类解，我们能够研究测地线的无穷小稳定性行为。