Zeitlin流体力学模型中的欧拉与拉格朗日稳定性

二维（2-D）理想流体的欧拉方程具有优美的几何描述：它们是辛微分同胚的无限维李群上关于右不变黎曼度量的约化测地线方程。这一结构通过截面曲率和雅可比方程可洞察欧拉与拉格朗日稳定性。Zeitlin模型是二维欧拉方程的有限维类比；是唯一已知的保持丰富几何结构的离散化。理论和数值研究表明Zeitlin模型在大尺度上给出一致的长时行为，但它在何种程度上真正反映欧拉方程基本尚属开放问题。为取得进展，我们在此给出两个结果。第一，李代数 $\mathfrak{su}(N)$ 上Euler--Zeitlin方程的截面曲率收敛到球面上欧拉方程的截面曲率。第二，相应的拉格朗日和欧拉稳定性雅可比方程的 $L^2$-收敛。这些结果使得关于Zeitlin模型的几何结论可转移到欧拉方程，反之亦然，这可能在最终目标中至关重要：刻画理想二维流体中通用的长时行为。