流体中的对称性与临界现象

我们证明，给定有界且对 $m \ge 3$ 为 $m$ 重旋转对称的初始涡量，在整个平面上 2D Euler 方程存在唯一的全局解。即在著名的 Yudovich $L^1 \cap L^\infty$ 理论中，在具备适当的对称条件时可去掉 $L^1$ 假设。这包含一类 2D Euler 方程的径向齐次解，由此产生一个新的 1D 流体模型。我们讨论该 1D 系统的若干有趣性质。利用此框架，我们构造了展现类摆行为的 2D Euler 方程时间拟周期解。我们还给出了具有紧支集的解，其角导数随时间线性增长或指数增长（后者出现在有边界时）。对表面准地转（SQG）方程可进行类似研究。利用相同的对称条件，我们证明了在原点附近仅为 Lipschitz 连续的解的局部存在唯一性——尽管若无对称性，Lipschitz 初始数据预计会立即丧失其 Lipschitz 连续性。再次考虑一类特殊的径向齐次解，并提取出一个与所谓 De Gregorio 模型极为相似的 1D 模型。进而我们表明，该 1D 模型的有限时间奇点形成意味着 SQG 方程紧支集 Lipschitz 解一类中的有限时间奇点形成。尽管对流体模型特殊无限能量解的研究是经典的，这似乎却是它们能嵌入方程的自然存在/唯一性类的首个案例。此外，这些特殊解长时间逼近有限能量解，并对有限能量解的全局正则性问题有直接影响。