二维欧拉方程尺度不变解的长时间行为及其应用

我们研究满足离散对称性的二维欧拉方程尺度不变解的长时间行为。我们证明所有在 $\mathbb{S}^1$ 上有限变差的尺度不变解都松弛到分段常数且仅有有限个跳跃的状态。所有连续尺度不变解在无穷时间内变得奇异并均匀化。在 $\mathbb{R}^2$ 上，这对应于一般的无穷时间螺旋与尖点形成。我们分析中的主要工具是发现了一个单调量，它度量远离原点的粒子数。该单调性也局部地适用于具有 $m$ 重对称性（$m\geq 4$）且在对称点处有径向极限的二维欧拉方程解。我们的结果也适用于一大类旋转曲面（如 $\mathbb{S}^2$ 和 $\mathbb{T}^2$）上的欧拉方程。我们的分析进而给出，在此类离散对称性下，任意此类光滑曲面上整体光滑解的轨迹的一般螺旋化与无穷时间正则性丧失。