活动标量方程定常与匀速旋转解的对称性

在本文中，我们研究了2D Euler方程与gSQG方程在光滑情形与patch情形下定常与匀速旋转解的径向对称性质。对于2D Euler方程，我们证明任何具有紧支撑且非负涡量的光滑定常解必为径向对称，无需对支撑或水平集的连通性作任何假设。在patch情形下，对于2D Euler方程，我们证明每个角速度$\Omega \leq 0$或$\Omega\geq \frac{1}{2}$的匀速旋转patch $D$ 必为径向对称，其中两个边界均为锐界。对于gSQG方程，在patch单连通的附加假设下，我们对$\Omega\leq 0$或$\Omega\geq \Omega_\alpha$（边界为锐界）获得了类似的对称性结果。这些结果解决了[T. Hmidi, J. Evol. Equ., 15(4): 801-816, 2015]与[F. de la Hoz, Z. Hassainia, T. Hmidi, and J. Mateu, Anal. PDE, 9(7):1609-1670, 2016]中关于匀速旋转patch的若干开放问题。在此过程中，我们闭合了关于分数阶拉普拉斯超定问题的一个疑问[R. Choksi, R. Neumayer, and I. Topaloglu, Arxiv preprint arXiv:1810.08304, 2018, Remark 1.4]，这或许具有独立意义。主要新思路源于变分法视角。