涡波系统匀速旋转解的对称性

在本文中，我们研究了 Marchioro 和 Pulvirenti \cite{Mar1} 引入的涡波系统的稳态解和匀速旋转解的径向对称性性质。我们证明，每一个角速度 $\Omega\leq 0$ 的匀速旋转涡旋块 $\left(D,x_1,x_2,..,x_k\right)$ 必须相对于唯一的点涡 $x_1$ 呈径向对称，这意味着 $k=1$。换言之，背景涡度由有限个嵌套的环组成，且点涡位于这些环的中心。与角速度非正的情况相反，我们证明存在一族匀速旋转涡旋块解 $(D^n, x_1^n)_n$，它们与一系列正角速度 $\{\Omega_n\}$ 相关联且非环形。此外，我们发现分岔角速度集合 $\{\Omega_n\}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 中稠密，这一新特征将这种行为与经典 Euler 方程和 gSQG 方程中观察到的行为区分开来。