二维区域上欧拉方程的集中定常涡量及其线性稳定性

我们考虑光滑区域 $\Omega \subset \mathbf{R}^2$ 上欧拉方程的集中涡量，形式为 $$\omega = \sum_{j=1}^N \omega_j \chi_{\Omega_j}, \quad |\Omega_j| = \pi r_j^2, \quad \int_{\Omega_j} \omega_j d\mu =\mu_j \ne 0,$$ 支撑于分离良好的涡域 $\Omega_j$，$j=1, \ldots, N$，其小直径 $O(r_j)$。建立共形映射框架以研究这一自由边界问题，其中 $\Omega_j$ 为未知量的一部分。对任意给定的涡量 $\mu_1, \ldots, \mu_N$ 和小的 $r_1, \ldots, r_N\in \mathbf{R}^+$，通过扰动方法，我们得到此类分段常数定常涡块以及分段光滑 Lipschitz 定常涡量，二者均集中于 Kirchhoff-Routh 哈密顿函数的非退化临界构型附近。当将涡块演化视为 $\partial \Omega_j$ 的边界动力学时，通过不变子空间分解，还证明了此类定常涡块的光谱/线性稳定性在很大程度上由 $2N$ 维线性化点涡动力学的稳定性决定，而运动在对应于涡域形状的 $2N$ 余维方向上高度振荡。