基于几何正则性的密度相关不可压缩欧拉方程组的Yudovich理论

本文聚焦于二维空间维度下密度相关不可压缩欧拉方程组的研究，讨论低正则性（即非Lipschitz）初始数据，满足类似于经典齐次欧拉方程Yudovich理论的假设条件。我们表明，在对非线性几何量——即沿向量场$X:=\nabla^\perp\rho$（其中$\rho$为流体密度）的流体速度$u$的方向导数$\partial_Xu$进行a priori控制的前提下，可以构建低正则性的Yudovich型解。更具体地，我们证明了以下事实：(i)稳定性：给定一系列均匀控制上述几何量的光滑近似解（即便提取后）该序列收敛于密度相关不可压缩欧拉系统的Yudovich型解；\(ii)唯一性：存在最多一个密度相关不可压缩欧拉方程组的Yudovich型解，使得$\partial_Xu$保持有限。此表述在要求初始数据更少光滑性方面改进了前面的唯一性结果。