EPDiff 方程的动量映射与测度值解（峰子、细丝与薄片）

我们研究了所谓 EPDiff 方程的测度值解动力学，EPDiff 代表“与微分同胚群（属于 $\mathbb{R}^n$ 或 $n$ 维流形 $M$ 的）相关的欧拉-庞加莱方程”。我们的主要焦点在于二次拉格朗日量情形；即，微分同胚群上关于右不变 Sobolev $H^1$ 度量的测地运动。相应的欧拉-庞加莱（EP）方程即为 EPDiff 方程，它与计算机视觉中的平均模板匹配方程（ATME）一致，并在一维下与 Camassa-Holm（CH）方程相符。保体积微分同胚群的相应方程是著名的不可压流体拉格朗日平均欧拉（LAE）方程。我们首先证明，对于充分光滑的解，EPDiff 方程由微分同胚群上的光滑向量场生成。这类似于不可压流体（欧拉方程与 LAE 方程）的已知结果，并且表明对于充分光滑的解，方程在短时间下是适定的。事实上，数值证据表明，随着时间推进，这些光滑解破裂为奇异解，至少在一维下展现出孤子行为。对于这些非光滑解，我们研究将一维 CH 方程的峰子（peakon）解推广到高维的测度值解。本文主要目的之一是表明，这些测度值解的许多性质可通过其解试探函数（ansatz）是一个动量映射这一事实来理解。还指出了一些额外的几何性质，例如，该动量映射是一个自然对偶对的其中一支。