具有对称性的流形上EPDiff方程的约化奇异解

EPDiff方程控制着关于选定度量的微分同胚群上的测地流，该度量通常是向量场切空间上的Sobolev范数。EPDiff允许其奇异解的一个显著拟设，称为“diffeon”，其动量支撑在环境空间的嵌入子空间上。对于某些范数的选择，Diffeon是真正的孤子。Diffeon解拟设是一个动量映射。因此，diffeon根据正则哈密顿方程演化。我们研究了“大部分”对称的爱因斯坦空间上的diffeon解，即其关于等距群子群的商空间是一维的。一个例子是二维球面，其等距群$\SO{3}$包含$S^1$。在这种情况下，奇异diffeon（称为“Puckon”）支撑在球面的纬度（“赤道带”）上。对于二维球面的这种$S^1$对称性，Puckon的正则哈密顿动力学从积分偏微分方程约化为关于其余纬度的常微分方程动力系统。我们针对$H^1$范数，数值计算了球面上Puckon的运动和相互作用的显式示例。我们分析了这种情况以及其他几个二维示例。从对这些二维空间的考虑，我们概述了在具有与直线和Lie群双不变度量的翘曲积等价的度量的一般流形上diffeon约化的理论。