CH方程的光滑与尖峰孤子

本文回顾了在一维空间中Camassa-Holm (CH)浅水波方程的光滑孤子解与尖峰孤子解之间的关系。通过使用其相关等谱特征值问题的散射数据（该问题被重新表述为Riemann-Hilbert问题），以作用-角变量形式表达了CH方程的典范哈密顿量公式。从作用-角散射变量$T^*({\mathbb{T}^N})$到流动动量($\mathfrak{X}^*$)的动量映射，提供了CH方程N-孤子解的欧拉表示，该表示以散射数据和等谱特征值问题的平方本征函数给出。通过使用色散参数的渐近展开，研究了CH方程的无色散极限及其产生的peakon解。一维无色散CH方程的peakon解被证明可以推广到更高维度的EPDiff方程的peakon波前解，其相关动量支撑在光滑嵌入的子空间上。CH和EPDiff奇异解的欧拉表示由微分同胚在光滑嵌入子空间上的左作用产生的（余切提升）动量映射给出。