修正 Camassa-Holm 方程的拼接 peakon 弱解

本文研究了带有色散项 $2ku_x$（其中 $k\in\mathbb{R}$）的修正 Camassa-Holm (mCH) 方程的行波解与 peakon 弱解。我们通过非线性变换从 mCH 方程导出的哈密顿系统来研究行波解。该哈密顿系统给出的典型行波解是无界或多值的。我们提供了一种称为拼接技术的方法，对这些行波解进行截断并拼接不同片段，以获得在 peakon 处满足跳跃条件的拼接有界单值 peakon 弱解。然后，我们研究了由 Helmholtz 算子 $1-\partial_{xx}$ 的基本解构造的一些特殊 peakon 弱解，这些解也可通过拼接技术获得。最后，我们研究了当 $k=1$ 时可由 mCH 方程描述的保长与保总定向面积的闭平面曲线流，为此我们给出了其哈密顿结构，并利用拼接周期 peakon 弱解研究了带尖点的环。