水动力学中一类行波方程的奇异解

我们给出了形如 $\ddot{u}\,u + \frac{1}{2}\dot{u}^2 + F'(u) =0$（其中 $F$ 为解析函数）的常微分方程的奇异弱解的详尽刻画。我们的动机源于以下事实：在水动力学背景下，若干著名方程在转到移动坐标系后可化为此类方程。我们构造了峰状波、尖点波、有限时间衰减波前以及紧孤立子波。我们证明了对于同一方程不可能同时得到峰状行波与紧支撑行波。特别地，峰状行波不可能具有紧支撑，反之亦然。为示例该方法，我们将结果应用于 Camassa-Holm 方程与中等振幅表面波方程，并展示了如何通过改变相应平面哈密顿系统的能量水平来获得不同类型的奇异解。