关于有限水深中的尖峰孤立波

众所周知，Camassa-Holm (CH) 方程在浅水中允许存在尖峰（peaked）和尖顶（cusped）孤立波。然而，精确波动方程在有限水深中是否允许此类波存在曾是一个未决问题。此外，传统观点认为，尖顶孤立波（其波峰处一阶导数趋于无穷大）本质上不同于具有有限一阶导数的尖峰孤立波。目前，基于对称性和精确水波方程，Liao [1] 提出了一种用于有限水深中行进水重力波的统一波动模型（UWM）。UWM 不仅容纳所有传统的平滑行进波，还允许有限水深中的尖峰孤立波存在；换言之，尖峰孤立行进波与传统平滑波是一致的。在本文中，在线性化 UWM 框架下，我们首次给出了有限水深中的尖顶孤立波，并揭示了尖顶与尖峰孤立波之间的密切关系：尖顶孤立波由无限多个具有相同相速度的尖峰孤立波组成，因此可被视为一种特殊的尖峰孤立波。这也很好地解释了为何及如何尖顶子（cuspon）在波峰处具有无穷大的一阶导数。研究发现，类似于尖峰孤立波，有限水深中尖顶孤立波的垂直速度在波峰处（x=0）也是不连续的，特别是其相速度也与波高无关。此外，无需考虑 UWM 给出的尖峰/尖顶孤立波是否为弱解，因为控制方程在波峰处不必满足。所有这些将加深并丰富我们对尖顶孤立波的理解。