全色散双向浅水模型中最高波的存在性

我们考虑一个双向 Whitham 方程中周期行波的存在性，该方程结合了不可压缩 Euler 方程的全双向色散关系与一个典范浅水非线性项。特别令人感兴趣的是最高、尖点行波解的存在性，我们将其作为从零状态延续的 $2\pi$-周期行波解主分岔分支末端的极限情形而获得。在仅包含全 Euler 色散关系一个分支的单向 Whitham 方程中，此类最高波在其波峰附近表现为 $|x|^{1/2}$ 的行为，与此不同，此处获得的尖点波表现为 $|x\log|x||$ 的行为。尽管该方程中涉及的线性算子可以容易地用积分算子表示，但它通过引入对数奇点将连续函数映射到 Hölder 和 Lipschitz 函数空间尺度之外。由于非线性项也比单向量 Whitham 方程中的阶数更高，我们证明和结果的若干部分偏离了相应单向方程的情形，其中对数奇点的分析是最为精细的部分。本文是一个更长期研究计划的一部分，旨在理解大振幅波及其奇点形成中非线性与色散之间的相互作用。