毛细重力 Whitham 方程的分岔图研究

我们研究了毛细重力 Whitham 方程周期行波的分岔。这是一个非线性伪微分方程，它将典型的浅水非线性与有限深度毛细重力波的确切（单向）频散相结合。从零解直线出发，我们利用 Lyapunov--Schmidt 约化通过简单与双重分岔，对所有小的周期解（单峰与双峰）给出了完整描述。本研究包含了当一个波数整除另一个波数时的共振情形。我们研究了一些分岔公式，使得在几乎所有情形下都能将单峰分岔曲线延拓为全局曲线。通过刻画对应于线性频散算子的积分核完全单调（从而正且凸；发生此事的阈值参数为 $T = \frac{4}{\pi^2}$，而非临界 Bond 数 $\frac{1}{3}$）的表面张力参数范围，我们即便在存在表面张力时也能对解的节点性质有所论断。最后，我们给出该方程的若干一般性结果，并依据分析与数值证据详细讨论已知的分岔全图。有趣的是，我们从解析上发现了连接不同解分支的二次分岔曲线；并从数值上发现所有超临界波保持其基本节点结构，在 $L^2(\SM)$ 中（但不在 $L^\infty$ 中）渐近收敛于两条常解曲线之一。