周期行进水波的空间准周期分岔及利用带符号奇异值检测分岔的方法

我们提出了一种通过定位 Jacobian 矩阵最小奇异值的带符号版本的零点来检测分岔的方法。这使得能够使用二次收敛的根括号技术或 Chebyshev 插值来定位分岔点。只需计算正奇异值，尽管该方法依赖于解析或光滑奇异值分解（SVD）的存在。Jacobian 矩阵行列式的符号在 SVD 算法双对角化约简中算出，消除了最小奇异值零点处的斜率不连续。我们利用该方法搜索从大振幅周期波分岔出的空间准周期行进水波。水波方程在共形映射框架下表述，以便于计算准周期 Dirichlet-Neumann 算子。我们发现了零表面张力的纯重力波和悬垂的重力-毛细波的例子。在这两种情况下，波具有两个空间准周期，其比为无理数。我们通过数值延拓跟踪次级分支，超越关于主分支上解的线性化范围，获得沿实轴延伸且任意两个波峰或波谷形状不完全相同的行进水波。纯重力波问题与海浪相关，其中毛细效应可忽略。此类波只能通过次级分岔存在，因为它们无法持续到零振幅。重力-毛细波问题展示了使用带符号最小奇异值作为多参数分岔问题检验函数的有效性。一旦网格足够精细，该检验函数便与网格无关。