Whitham型色散演化方程中具有温和正则非线性项的孤立波

我们证明了在Sobolev空间${\mathrm{H}^s}$, ${ s > 0 }$中，对于一类形如\begin{equation*} u_t + \left(Lu+ n(u)\right)_x = 0 \end{equation*}的非线性色散演化方程，存在小振幅孤立波和周期行波解。其中色散算子${L}$是一个负阶傅里叶乘子，其符号在低频处为KdV型，且其傅里叶逆变换${ K }$可积；非线性项${n}$是非齐次的、局部Lipschitz的，且在原点处具有超线性增长。这推广了Ehrnström、Groves和Wahlén关于一类包含Whitham表面重力水波模型方程（具有精确线性色散关系）的早期工作。所用工具包括约束变分方法、Lions集中紧致性原理、低相对正则复合算子的强分数阶链式法则，以及针对${n}$的截断论证，这使我们能够低于典型的${s > \frac{1}{2}}$区域。我们还证明了当${ K }$非负时，这些解要么是隆起波，要么是凹陷波，并给出了当${ n }$过强时的一个不存在性结果。