关于非局部色散方程最高尖波解的惠瑟姆猜想

我们考虑惠瑟姆方程 $u_t + 2u u_x+Lu_x = 0$，其中 L 是由符号 $m(\xi) = \sqrt{\tanh \xi /\xi}$ 给出的非局部傅里叶乘子算子。G. B. Whitham 猜想该方程存在最高的、带尖点的行波解。我们在 $P$-周期解的主分岔曲线末端作为极限情形找到了此波，并给出了它的若干定性性质，包括其最优 $C^{1/2}$-正则性。证明的本质部分在于对对应于符号 $m(\xi)$ 的积分核的分析，以及对最高波的研究。特别地，我们证明了对应于符号 $m(\xi)$ 的积分核是完全单调的，并给出了其显式表示公式。