广义 $\mu$-Camassa-Holm 可积方程的爆破解与峰孤子

本文研究一类广义 $\mu$ 型可积方程，该方程可视为 $\mu$-Camassa-Holm 方程和修正 $\mu$-Camassa-Holm 方程的推广。证明了所提出的方程具有 Lax 对和双哈密顿结构，因而是形式可积的，其尺度极限是描述短毛细重力波的水动力学系统的可积模型。利用粘性方法建立了 Cauchy 问题在适当 Sobolev 空间中的局部适定性。研究了该方程尖峰行波解的存在性及解的奇点形成。发现该方程容许单峰孤子和多峰孤子解。详细阐述了变化的 $\mu$-Camassa-Holm 和修正 $\mu$-Camassa-Holm 非局部非线性项对爆破判据和波破碎的影响。我们的分析依赖于特征线法和守恒量，并进行了先验微分估计。