修正 Camassa-Holm 方程中作为弱解的 peakon 的哈密顿结构

修正 Camassa-Holm (mCH) 方程是一个双哈密顿系统，在用于分析非 peakon 解的局部适定性、整体存在性和波破碎的积分表述框架下，对所有 $N\geq 1$ 均具有 $N$-peakon 弱解。与原始 Camassa-Holm 方程不同，mCH 方程的两个哈密顿量在简化为 $2$-peakon 弱解时并不退化为守恒积分（运动常数）。本文通过为所有 $N\geq 2$ 的 $N$-peakon 弱解找到一个显式守恒积分，解决了这一令人困惑的情况。当 $N$ 为偶数时，利用源自 mCH 方程一种哈密顿结构约化的自然 Poisson 括号，该守恒积分被证明可提供哈密顿结构。但当 $N$ 为奇数时，发现使用该 Poisson 括号由守恒积分导出的哈密顿运动方程与 mCH $N$-peakon 弱解的动力学方程不同。此外，证明了 mCH 方程的两个哈密顿量在简化为 $2$-peakon 弱解时缺乏守恒性的现象可推广至所有 $N\geq 2$ 的 $N$-peakon 弱解。讨论了这种可积性结构缺失与 Chang 和 Szmigielski 关于 mCH 方程 Lax 对的相关工作之间的联系。