修正 Camassa-Holm 方程的 Lax 可积性与 peakon 问题

Peakon 是一类非线性偏微分方程的特殊弱解，用于建模正则性破缺和激波出现等非线性现象。我们证明了，对于本文研究的修正 Camassa-Holm 方程，弱解的自然概念是由其 Lax 对的分布相容性所决定的；因此，它不同于文献中基于 Burgers 型方程弱解概念所提出和使用的弱解。随后，我们给出了在分布意义上满足修正 Camassa-Holm 方程的 peakon 解的完整构造；我们的方法基于求解某个逆边值问题，其求解依赖于结合 Stieltjes 连分数与多点 Padé 近似的经典分析技术。我们提出了确保 peakon 解全局存在性的充分条件，并分析了其大时间渐近行为，其特殊特征包括形成共享渐近速度的 peakon 对，以及类 Toda 的排序性质。