离散 Euler-Poincaré 与 Lie-Poisson 方程

本文针对有限维李群 $G$ 上具有 $G$-不变拉格朗日量 $L:TG \to {\mathbb R}$ 的系统，发展了 Euler-Poincaré 与 Lie-Poisson 约化理论的离散类比。这些离散方程提供了明显保持辛结构的“约化”数值算法。以流形 $G \times G$ 作为 $TG$ 的近似，并构造离散拉格朗日量 ${\mathbb L}:G \times G \to {\mathbb R}$ 使之保持 $G$-不变性。通过 $G$ 约化得到约化拉格朗日量 $\ell:G \to {\mathbb R}$ 的新的“变分”原理，并给出离散 Euler-Poincaré (DEP) 方程。这些方程的重构恢复了在 \cite{MPS,WM} 中发展的离散 Euler-Lagrange 方程，它们是自然的辛-动量算法。此外，DEP 算法的求解直接导出离散 Lie-Poisson (DLP) 算法。研究表明，当 $G=\text{SO} (n)$ 时，对特定离散拉格朗日量 ${\mathbb L}$ 的 DEP 与 DLP 算法等价于广义刚体的 Moser-Veselov 格式。