带平流参数与附加动力学的离散力学系统的 Euler--Poincaré 约化与 Kelvin--Noether 定理
数学物理
2026-04-24 v1 数值分析
动力系统
math.MP
数值分析
摘要
Euler--Poincaré 方程最初由 Henri Poincaré 于 1901 年提出，源于将 Lagrange 力学应用于具有对称性的 Lie 群上的系统，特别是在经典力学和流体力学背景下。这些方程已被推广到多种设定中，如半直积、平流参数和场论，并广泛应用于力学和物理学。在本文中，我们利用群差映射技术，引入了带平流参数和附加动力学的 Lie 群上离散 Lagrange 系统的离散 Euler--Poincaré 约化。具体而言，群差映射通过 Cayley 变换或矩阵指数来定义。连续和离散 Kelvin--Noether 定理也相应地得到了推广，它们考虑了相应连续和离散 Euler--Poincaré 方程的 Kelvin--Noether 量。作为应用，我们展示了关于水下航行器动力学的连续和离散 Euler--Poincaré 公式，并进行了数值模拟。数值结果说明了该方案在长时间区间内保持几何性质的能力，突显了其在水下航行器控制与导航以及其他领域的实际应用潜力。
引用
@article{arxiv.2501.12940,
title = {Euler--Poincar\'e reduction and the Kelvin--Noether theorem for discrete mechanical systems with advected parameters and additional dynamics},
author = {Yusuke Ono and Simone Fiori and Linyu Peng},
journal= {arXiv preprint arXiv:2501.12940},
year = {2026}
}
备注
20 pages, 3 figures