关于 Henri Poincaré 的短文《Sur une forme nouvelle des équations de la Mécanique》
微分几何
2017-02-22 v2
摘要
我们以现代语言呈现了 Henri Poincaré 于 1901 年发表的著名短文《Sur une forme nouvelle des équations de la Mécanique》的内容，其中他证明了，当李代数在拉格朗日力学系统的位形空间上局部传递地作用时，著名的 Euler-Lagrange 方程等价于定义在位形空间与李代数的乘积上的一个新的微分方程组。我们以内在形式写出了这些被称为 \emph{Euler-Poincaré 方程}的方程，不参考任何特定的局部坐标系，并证明了它们可以方便地用 Legendre 映射和动量映射来表示。我们讨论了 Euler-Poincaré 方程在约化中的应用（这一过程有时被现代学者称为拉格朗日约化），并将该过程与著名的哈密顿约化过程（由 J.E. Marsden 和 A. Weinstein 于 1974 年用现代术语表述）进行了比较。我们解释了相空间中对称性的破缺如何导致群的半直积的出现。
引用
@article{arxiv.1302.4096,
title = {On Henri Poincar\'e's note "Sur une forme nouvelle des \'equations de la M\'ecanique"},
author = {Charles-Michel Marle},
journal= {arXiv preprint arXiv:1302.4096},
year = {2017}
}
备注
This is a corrected and enhanced version of the paper published in JGSP 29 (2013) 1-38. I have corrected typographical mistakes and added in Section 2.1 a more detailed explanation of the way in which Poincar\'e probably derived the Euler-Poincar\'e equation