外微分系统与欧拉-拉格朗日偏微分方程
微分几何
2007-05-23 v1 偏微分方程分析
摘要
我们使用外微分系统（EDS）的方法，在接触变换下发展标量一阶拉格朗日泛函及其相伴欧拉-拉格朗日偏微分方程的几何理论。第一章在 EDS 的背景下介绍经典的 Poincare-Cartan 形式，随后给出若干经典结果的证明，包括相关逆问题的解、关于对称性与守恒律的 Noether 定理，以及极小超曲面的几个方面。第二章解决了 Poincare-Cartan 形式的等价问题，给出该形式的微分不变量，辨识出相伴的几何结构（包括一族仿射超曲面），并展示由不变量刻画的某些“特殊”欧拉-拉格朗日方程。第三章讨论具有自然相伴共形几何的一族 Poincare-Cartan 形式，并展示由此产生的非线性 Poisson 方程与波动方程的守恒律。第四章也是最后一章简要讨论从这一视角出发的额外 PDE 议题——欧拉-拉格朗日 PDE 系统、高阶拉格朗日量与守恒律、拉格朗日泛函局部极小值的辨识，以及 Backlund 变换。本文不假定读者具备外微分系统或变分法的先前知识。
引用
@article{arxiv.math/0207039,
title = {Exterior Differential Systems and Euler-Lagrange Partial Differential Equations},
author = {Robert L. Bryant and Phillip A. Griffiths and Daniel A. Grossman},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0207039},
year = {2007}
}
备注
205+xiv pages, latex2e with hyperrefs, xypic