一类 Euler-Poincaré 方程的孤立波与 $N$ 粒子算法
数值分析
2015-07-14 v3
摘要
我们研究了一类属于所谓 Euler-Poincaré 微分方程族的偏微分方程 (PDE)，旨在为其数值解算法奠定基础。这需要特别关注当相关椭圆算子类具有非光滑核时该系统的数学性质。通过将系统转化为其拉格朗日形式（或特征线形式），我们首先在自由空间中针对演化场的齐次 Dirichlet 边界条件构建了一个粒子系统算法。接着，我们考察了当假设非齐次“恒定流”边界条件时系统的变形。我们展示了边界处这一简单变化如何深刻影响演化的性质，使其从类双曲型转变为具有非平凡色散关系的色散型，并考察了这种变形所提供的奇异核的潜在正则化性质。从粒子算法的角度来看，核的奇异性影响相应常微分方程组解的存在性和唯一性。我们以算子核在空间变量上呈锥形的情形为例进行说明，并详细考察了在由此导致的缺乏 Lipschitz 连续性下的双粒子动力学。有趣的是，我们发现对于锥形核，在适当的初始数据下，相关二维波的运动可以变得完全可积。这种归约将二维系统投影到一维完全可积的浅水方程 [Camassa, R. 和 Holm, D. D., Phys. Rev. Lett., 71, 1961-1964, 1993]，同时保留了单通道解对两个空间维度的完整依赖性。
引用
@article{arxiv.1404.4858,
title = {Solitary waves and $N$-particle algorithms for a class of Euler-Poincar\'e equations},
author = {Roberto Camassa and Dongyang Kuang and Long Lee},
journal= {arXiv preprint arXiv:1404.4858},
year = {2015}
}