定义在曲面与曲线上的偏微分方程的体积变分原理

在本文中，我们提出了用于求解定义在闭合光滑曲面（或曲线）上的偏微分方程（PDE）的简单数值算法。特别地，我们考虑源于曲面上定义的变分原理的 PDE；包括 Laplace-Beltrami 方程和曲面波动方程。该方法系统地构造变分积分的扩展，推导扩展问题的 Euler-Lagrange 方程，包括可以在均匀笛卡尔网格或自适应网格上轻松离散化的边界条件。在我们的方法中，曲面由距离函数或最近点映射隐式定义。由于这种扩展不是唯一的，我们研究了一类简单扩展如何影响所得的 PDE。特别地，我们将曲面 PDE 简化为定义在周期带上的模型问题及相应的边界条件，并使用经典的傅里叶和拉普拉斯变换方法研究所得问题的适定性。对于椭圆和抛物线问题，我们的边界闭合主要产生稳定的算法来求解非线性曲面 PDE。对于双曲问题，所提出的边界闭合通常是不稳定的，但可以通过添加高阶正则化项或周期性地但不频繁地“重新初始化”计算解来轻松控制不稳定性。给出了每种代表性曲面 PDE 的一些数值示例。