受控拉格朗日量与破缺对称性Euler--Poincaré力学系统的镇定 I：动能整形

我们将带动能整形的受控拉格朗日量方法推广到半直积李群上具破缺对称性的力学系统，更具体地，推广到带平流参数的Euler--Poincaré方程。我们找到了此类构型流形为一般半直积李群 $\mathsf{G} \ltimes V$ 的系统的受控拉格朗日量匹配条件。我们的动机例子为底部偏重的 underwater vehicle 与在可动基座上旋转的顶部。它们的构型空间为特殊欧氏群 $\mathsf{SE}(3) = \mathsf{SO}(3) \ltimes \mathbb{R}^{3}$，其中 $\mathsf{SE}(3)$ 对称性被重力破缺。由匹配条件所得的控制镇定了这些例子的不稳定平衡。此外，匹配帮助我们找到额外的耗散控制，可渐近镇定那些不稳定平衡。