连续与离散 Clebsch 变分原理
动力系统
2009-04-30 v2 可精确求解与可积系统
摘要
Clebsch 方法为推导连续与离散动力系统的变分原理提供了一种统一途径，其中利用向量空间的元素通过速度映射控制李群余切丛上的动力学。本文证明了一个约化定理，该定理指出当且仅当速度映射为李代数作用时，李群上的正则变量可被消去，从而给出向量空间变量的 Euler-Poincaré (EP) 方程。在此情形下，从李群上的正则变量到向量空间的映射是利用 diamond 算子定义的标准动量映射。我们将 Clebsch 方法应用于旋转刚体与不可压缩 Euler 方程的例子中。在此过程中，我们解释了微分同胚群（EPDiff）的 EP 方程的奇异解如何作为 Clebsch 途径中的动量映射出现。在有限维李群的情形下，Clebsch 变分原理被离散化以产生该动力系统的变分积分子。我们得到一个离散映射，由此可消去李群余切丛上的变量，从而给出向量空间元素的离散 EP 方程。我们给出旋转刚体的一个积分子作为例子。我们还简要讨论如何对无限维 Clebsch 系统进行离散化，以产生流体动力学的守恒数值方法。
引用
@article{arxiv.math/0703495,
title = {Continuous and discrete Clebsch variational principles},
author = {C. J. Cotter and D. D. Holm},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0703495},
year = {2009}
}