浸入曲线空间上的分数阶 Sobolev 度量

受形状分析领域应用的启发，我们在光滑正则曲线空间 $\operatorname{Imm}(S^1,\mathbb{R}^d)$ 及其 Sobolev 完备 $\mathcal{I}^{q}(S^1,\mathbb{R}^{d})$ 上研究了重参数化不变的分数阶 Sobolev 型度量。我们证明了，只要度量的阶数大于或等于 1，在 Banach 流形 $\mathcal{I}^{q}(S^1,\mathbb{R}^{d})$ 和 Fréchet 流形 $\operatorname{Imm}(S^1,\mathbb{R}^d)$ 上的测地线方程均具有局部适定性。此外，我们证明了当 $s>\frac 32$ 时，$H^s$-度量在同阶的 Banach 流形 $\mathcal{I}^{s}(S^1,\mathbb{R}^{d})$ 上诱导出强 Riemannian 度量。这些研究也可以被解释为微分同胚群上右不变度量分析的一种推广。