平面曲线空间上的黎曼几何

我们研究平面中正则光滑曲线空间上的一些黎曼度量，将该空间视为从 $S^1$ 到平面的映射模去 $S^1$ 的微分同胚群（作为重参数化作用）的轨道空间。特别地，我们考察常量 $A> 0$ 对应的度量：$$G^A_c(h,k) := \int_{S^1}(1+A\ka_c(\th)^2)< h(\th),k(\th) > |c'(\th)| d\th$$ 其中 $\ka_c$ 是曲线 $c$ 的曲率，$h,k$ 是 $c$ 的法向量场。项 $A\ka^2$ 是一种几何 Tikhonov 正则化，因为当 A=0 时，任意两条不同曲线间的测地距离为 0，而当 $A>0$ 时距离恒为正。我们给出距离函数的一些下界，推导出测地方程与截面曲率，数值求解具有简单端点的测地方程，并提出一些开放问题。该空间有一种有趣的双重性格：在大的光滑曲线中，其所有截面曲率均 $\ge 0$，而对于高曲率曲线或高频扰动的曲线，曲率均 $\le 0$。