鞭的几何

在本文中，我们研究了在 $L^2$ 度量下以单位速度参数化的弧空间的几何方面。这在物理上对应于鞭的运动，并且也出现在形状识别的研究中。测地线方程是非线性、非局部的波动方程 $\eta_{tt} = \partial_s(\sigma \eta_s)$，其中 $\lvert \eta_s\rvert\equiv 1$ 且 $\sigma$ 由 $\sigma_{ss}- \lvert \eta_{ss}\rvert^2 \sigma = -\lvert \eta_{st}\rvert^2$ 给出，边界条件为 $\sigma(t,1)=\sigma(t,-1)=0$ 和 $\eta(t,0)=0$。我们证明了弧空间是所有曲线空间的子流形，正交投影存在但不光滑，作为推论，我们得到了连续甚至可微但不 $C^1$ 的黎曼指数映射。这与曲率为正但无上界的事实有关，因此沿任何测地线在任意短的时间内都存在共轭点。我们还将此度量与Michor和Mumford在模重参数化的浸入曲线齐性空间 $\text{Imm}(I, \mathbb{R}^2)/\mathcal{D}(I)$ 上为形状识别引入的 $L^2$ 度量进行了比较；我们表明它具有一些相似的性质（例如非负但无界的曲率以及不光滑的指数映射），但弧空间上的 $L^2$ 度量产生了真正的黎曼距离。