鞭与链的运动

我们研究了在无重力情况下，一端固定的不可伸长弦（鞭）的运动，其满足方程 $$\eta_{tt} = \partial_s(\sigma \eta_s), \qquad \sigma_{ss}-\lvert \eta_{ss}\rvert^2 = -\lvert \eta_{st}\rvert^2, \qquad \lvert \eta_s\rvert^2 \equiv 1$$ 及边界条件 $\eta(t,1)=0$ 和 $\sigma(t,0)=0$。我们证明了在由加权 Sobolev 能量 $$\sum_{\ell=0}^m \int_0^1 s^{\ell} \lvert \partial_s^{\ell}\eta_t\rvert^2 \, ds + \int_0^1 s^{\ell+1} \lvert \partial_s^{\ell+1}\eta\rvert^2 \, ds,$$ 定义的空间中，当 $m\ge 3$ 时的局部存在性与唯一性。此外，我们证明了只要 $m=3$ 时的能量保持有界，光滑解就会持续存在。我们通过直线法证明了这一点，即用耦合摆的离散系统（链）进行近似，该系统同样成立相同的估计。