欧氏曲线空间上的弹性度量：理论与算法
微分几何
2022-09-21 v1
摘要
统计形状分析领域的一个主要目标是在浸入流形空间（例如欧氏空间中的曲线空间）上定义可计算且信息丰富的度量。弹性形状分析框架所采用的方法是从参数化形状空间上的重参数化不变黎曼度量出发，并在微分同胚群的商空间上诱导出度量。该商度量的计算在实践中通过寻找两个形状在微分同胚群上的配准来实现。对于欧氏曲线空间，初始黎曼度量通常选自称为弹性度量的双参数 Sobolev 度量族。弹性度量尤为便利，因为对于若干参数选择，已知它们与某些黎曼度量局部等距，而这些度量能够显式求解测地线边值问题——这些局部等距的著名例子包括 Younes、Michor、Mumford 和 Shah 的复平方根变换，以及 Srivastava、Klassen、Joshi 和 Jermyn 的平方根速度(SRV)变换。本文中，我们证明了 SRV 变换可推广到任意参数选择的弹性度量，适用于任意维数的曲线，从而完全推广了过去二十年许多作者的工作。我们对弹性度量给出了统一处理：推广了 Trouvé 与 Younes、Bruveris 以及 Lahiri、Robinson 和 Klassen 关于配准问题解存在性的结果，开发了计算距离与测地线的算法，并将这些算法应用于度量学习问题，在其中我们为统计形状分析任务学习最优弹性度量参数。
引用
@article{arxiv.2209.09862,
title = {Elastic Metrics on Spaces of Euclidean Curves: Theory and Algorithms},
author = {Martin Bauer and Nicolas Charon and Eric Klassen and Sebastian Kurtek and Tom Needham and Thomas Pierron},
journal= {arXiv preprint arXiv:2209.09862},
year = {2022}
}