用于零亏格曲面弹性形状分析的SRNF映射数值反演

弹性形状分析（ESA）的最新发展源于它能为形状的同步配准、变形和比较提供全面的框架。这些方法通过使用特定的平方根表示，将不变的弹性度量转换为欧几里得度量，从而实现了计算效率，允许应用标准算法和统计工具。为了分析 $\mathbb{S}^2$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中嵌入的形状，Jermyn等人引入了平方根法向场（SRNF），它将一个具有理想不变性质的弹性度量转换为 $\mathbb{L}^2$ 度量。这些SRNF本质上是表面法向量按无穷小面积元的平方根进行缩放。形状分析的一个关键需求是将SRNF空间中计算的解（变形、平均、变异模式等）反演回原始曲面空间，以进行可视化和推断。由于缺乏理解SRNF映射及其反演的理论，我们采用数值方法，推导出一种高效的多分辨率算法，该算法基于在曲面空间中求解一个优化问题，来估计对应于给定SRNF的曲面。即使对于经历显著变形（包括弯曲和拉伸）的复杂形状（例如人体和动物），该解决方案也被证明是有效的。具体来说，我们利用这种反演来计算弹性形状变形、传递变形、总结形状，以及在同步配准曲面的同时，寻找给定集合中的变异模式。我们通过对人体形状的统计分析、通用曲面分类和脑结构分析来演示所提出的算法。