在平面曲线空间上构造重参数化不变度量

形状空间上的度量用于描述将一个形状变形为另一个形状的形变，并确定它们之间的距离。我们研究曲线空间上的一族度量，其中包括几个近期提出的度量，这些度量的特征在于映射到向量空间，其中测地线易于计算。该族由参数化平面曲线空间 $\text{Imm}(S^1,\mathbb R^2)$ 及其商空间 $\text{Imm}(S^1,\mathbb R^2)/\text{Diff}(S^1)$（未参数化曲线）上的一阶 Sobolev 型黎曼度量组成。对于开参数化曲线空间，我们找到了测地距离的显式公式，并证明了在参数化曲线空间上截面曲率为零，在未参数化开曲线空间上截面曲率为非负。对于由“R-变换”诱导的度量，我们提供了一种数值算法，该算法利用约束公式（使用 RATTLE 算法数值实现）计算未参数化闭曲线之间的测地线。我们通过一些数值测试展示了该算法的效率和鲁棒性。