流形值曲线空间上的 Sobolev 度量

我们研究流形值开曲线与闭浸入曲线空间上阶数 $n\ge 2$ 的重新参数化不变 Sobolev 度量的完备性性质。特别地，对于几类重要的度量，我们证明了 Sobolev 浸入在度量与测地意义下是完备的（从而测地线方程整体适定）。这些结果此前仅知于取值于欧氏空间的闭曲线。对于开曲线上的常系数 Sobolev 度量类，我们证明它们在度量意义下不完备，且这种不完备性仅由完全消失的曲线引起（不同于低阶度量中出现的“局部”失效）。